Ein Digitaloszilloskop zeigt nie das Signal, das an seinem Eingang liegt. Es zeigt eine Folge von Zahlen, die es in gleichen Zeitabständen aus diesem Signal entnommen hat, und eine Kurve, die es aus diesen Zahlen wieder zusammensetzt. Zwischen der Vorlage und dem Bild auf dem Schirm liegen also zwei Schritte, bei denen etwas verloren gehen kann.
Der Simulator zeigt beides nebeneinander: die Vorlage, die ein reales Gerät nicht kennt, und das, was nach dem Sampling davon übrig ist. Genau aus diesem Vergleich wird das Sampling-Theorem anschaulich, das sonst eine bloße Merkregel bleibt.
Behandelt wird das Sampling selbst und ihre unmittelbaren Folgen: Aliasing, der Grenzfall an der Nyquistfrequenz und der Unterschied zwischen einer idealen und einer aus endlich vielen Werten gebildeten Rekonstruktion. Der Vertikalzweig — Auflösung des Wandlers, Rauschen, Eingangsbandbreite — gehört nicht dazu.
Die Oberfläche ist zweigeteilt. Links stehen die beiden Darstellungen untereinander, rechts alle Einstellungen und die Messwerte. Beide Bilder passen zusammen auf einen Bildschirm; ihre Höhe richtet sich nach der Fensterhöhe. Wird das Fenster schmaler als etwa 1000 Bildpunkte, rutscht die rechte Spalte unter die Bilder.
Oben links liegt der Zeitbereich, darunter der Frequenzbereich mit zwei umschaltbaren Ansichten. Unter beiden Bildern steht ein Ausklapper mit der jeweiligen Erläuterung; er ist eingeklappt, damit die Bilder Platz behalten.
Die rechte Spalte enthält von oben nach unten: die Signalform, vier Schieberegler, die Auswahl der eingeblendeten Kurven, fünf Vorwahlknöpfe und darunter die Messwerte mit einer Statuszeile, die den aktuellen Betriebsfall im Klartext benennt.
Signalform
Zur Wahl stehen Sinus, Rechteck, Dreieck und ein Zweiton aus den Frequenzen f und 2,4 f. Rechteck und Dreieck werden aus jeweils sechzehn Teilschwingungen aufgebaut und sind damit bandbegrenzt. Das ist kein Schönheitsfehler, sondern Voraussetzung: Ein ideales Rechteck hat unendlich viele Oberwellen, deren Rückfaltung sich nicht geschlossen angeben ließe.
Signalfrequenz
Einstellbar von 100 Hz bis 1 MHz, logarithmisch geteilt. Gemeint ist immer die Grundfrequenz; beim Rechteck liegt die höchste Teilschwingung beim Einunddreißigfachen davon, beim Zweiton beim 2,4-fachen.
Sample Rate
Einstellbar von 10 kSa/s bis 1 MSa/s, ebenfalls logarithmisch. Daraus ergibt sich die Nyquistfrequenz fs/2, die im Frequenzbild als Grenze des Beobachtungsfensters erscheint.
Zeitbasis
Von 100 ns/Div bis 500 ms/Div in der Folge 1-2-5, wie am Gerät. Das dargestellte Zeitfenster umfasst zehn Divisionen. Die Zeitbasis wirkt ausschließlich auf den Ausschnitt; das Eingangssignal bleibt stehen, wenn die Sample Rate verändert wird.
Sample-Phase
Verschiebt das gesamte Sample-Raster gegenüber dem Signal. 360 Grad entsprechen einem vollen Sample-Intervall Ts = 1/fs; danach wiederholt sich die Lage der Punkte. Dieser Regler ist bei Frequenzen nahe fs/2 der wichtigste von allen.
Kurven
Fünf Häkchen schalten die Darstellungen einzeln zu.
Das Raster entspricht mit zehn mal acht Divisionen dem eines Oszilloskops. Die Fußzeile nennt die Zeitbasis, die Länge des Fensters und die Zahl der darin liegenden Samples.
Eingangssignal, blau. Die Vorlage. Sie hängt allein von Signalform und Signalfrequenz ab. Ein reales Oszilloskop bekommt diese Kurve nie zu sehen — sie steht hier nur als Vergleichsmaßstab.
Samples, grün. Die Zahlenfolge, die tatsächlich entsteht. Mehr Information liegt im Gerät nicht vor. Bis zweihundert Werte im Fenster wird zusätzlich das Sample-Raster als feine senkrechte Linie eingezeichnet, bis dreitausend Werte werden die Samples einzeln dargestellt.
Samples verbinden, grün. Die einfachste Rekonstruktion: gerade Strecken zwischen benachbarten Werten. Viele Geräte zeigen das als Voreinstellung.
Ideale Rekonstruktion, orange gestrichelt. Die Kurve, die ebenso gut zu denselben Samples passt. Sie entsteht rechnerisch: Für jede Teilschwingung des Eingangssignals wird bestimmt, bei welcher Frequenz sie im Basisband erscheint, und die so verschobenen Teilschwingungen werden addiert:
Dabei ist k die nächstgelegene ganze Zahl zu f/fs. Für Frequenzen unterhalb der Nyquistfrequenz liegt diese Kurve auf dem Eingangssignal — dann ist nichts verloren gegangen. Erst oberhalb wird sie zur Aliaskurve, zeigt also eine andere Frequenz als das Eingangssignal. Das Ergebnis entspricht dem, was ein idealer Tiefpass aus einem unendlich langen Datensatz rekonstruieren würde. Das kann nur der Simulator, weil er das Eingangssignal kennt; wie reale Geräte vorgehen, steht im Hintergrundbeitrag.
sin(x)/x aus dem Fenster, violett. Dieselbe Rekonstruktion, aber ausschließlich aus den Samples dieses Zeitfensters gebildet:
Die Summe läuft nur über die tatsächlich vorhandenen Werte. Genau deshalb weicht diese Kurve am Rand des Fensters von der idealen Rekonstruktion ab, und genau deshalb ist sie die ehrlichere von beiden: Ein Gerät hat immer nur endlich viel Speicher.
Beide Kurven treffen jedes Sample exakt. Sie unterscheiden sich nur in der Länge des zugrunde liegenden Datensatzes und laufen mit wachsendem Fenster zusammen:
Oberhalb von viertausend Samples wird die sin(x)/x-Kurve nicht mehr berechnet; die Fußzeile weist darauf hin.
Die Abweichung am Fensterrand ist ein Grenzfall, kein Alltagsproblem: Sie tritt nur bei kurzen Datensätzen und bei Frequenzen dicht an der Nyquistfrequenz auf. Die Gegenprobe am Gerät bestätigt das — ein Sinus mit 20 kHz bei 25 kSa/s, also ein Alias bei 5 kHz und fünf Samples je Periode, wird auch am Rand des angehaltenen Datensatzes einwandfrei rekonstruiert. Reale Geräte haben genug Speicher, dass der Effekt dort verschwindet; der Simulator zeigt ihn mit seinem kurzen Fenster absichtlich.
Sampling heißt, das Signal im Zeitbereich mit einer Impulsfolge zu multiplizieren. Im Frequenzbereich wird daraus eine Faltung mit einem Linienkamm im Abstand fs: Das Spektrum wiederholt sich bei jedem Vielfachen der Sample Rate, jeweils auch spiegelbildlich, weil zu jeder reellen Schwingung eine Linie bei +f und eine bei −f gehört. Die Herleitung steht im Hintergrundbeitrag.
Warum das Spektrum gespiegelt ist
Eine Schwingung lässt sich als rotierender Zeiger denken, ähnlich dem Zeiger einer Uhr. Er dreht sich f mal je Sekunde, und sein Auf und Ab ergibt die Sinuskurve. Drehen kann er sich dabei in zwei Richtungen — auf das Auf und Ab hat das keinen Einfluss, beide Richtungen ergeben dieselbe Kurve. Diese Drehrichtung ist das Vorzeichen der Frequenz.
Nimmt man beide Zeiger mit halber Länge, einen vorwärts und einen rückwärts laufend, so heben sich ihre seitlichen Bewegungen in jedem Augenblick auf. Übrig bleibt reines Auf und Ab, und genau das ist eine reelle Spannung, wie sie am Eingang anliegt. Eine messbare Spannung entsteht also stets als solches Paar. Deshalb gehört zu jeder Linie bei +f zwingend eine gleich hohe bei −f.
Den Alltagsvergleich liefert das Wagenrad im Film, das rückwärts zu laufen scheint: Dem Bild allein sieht man die Drehrichtung nicht an. Erst zwei um 90 Grad versetzte Signale, in der Funktechnik I und Q, machen sie unterscheidbar; dann ist das Spektrum nicht mehr gespiegelt.
Die negative Hälfte ist keine Förmlichkeit. Beim Sampling wandert sie mit: Die Aliaslinie bei fs − f ist die Kopie der negativen Linie bei −f, verschoben um fs. Ohne sie ließe sich nicht erklären, warum ein zu schnelles Signal als tieferes erscheint.
Blau gezeichnet ist das Originalspektrum, orange die Wiederholungen, rot die Marken bei den Vielfachen der Sample Rate, grün hinterlegt das Beobachtungsfenster von null bis fs/2. Jede Linie, die in dieses Fenster fällt, wird grün hervorgehoben und beschriftet. Verändert man die Sample Rate, wandern die orangen Kopien — und Aliasing ist sichtbar der Augenblick, in dem eine von ihnen ins Fenster gerät. Landen dabei zwei Linien an derselben Stelle, überlagern sie sich und sind danach nicht mehr zu trennen — das ist der eigentliche Informationsverlust.
Bei Rechteck und Dreieck reicht das Spektrum weit über die Sample Rate hinaus. In der Gesamtansicht drängen sich die Linien dann zusammen, und das Beobachtungsfenster ist nur ein schmaler Streifen. Dafür gibt es unter dem Bild die Zoomzeile. Zoom vergrößert bis zum Vierzigfachen um die Bildmitte, Lage verschiebt den Ausschnitt; im Zoom erscheint eine Frequenzskala. Der Knopf „0 … fs/2" stellt genau das Beobachtungsfenster ein und hält es fest, auch wenn die Sample Rate verändert wird — so lässt sich verfolgen, wie die Harmonischen im Basisband wandern. „Gesamt" kehrt zur vollen Ansicht zurück.
Vier Werte stehen unter der Steuerung. Die Nyquistfrequenz ist die halbe Sample Rate. Die Samples je Periode sind das Verhältnis fs/f und damit das gebräuchlichste Maß für die Güte des Samplings. Die angezeigte Grundfrequenz ist die Frequenz, bei der die Grundschwingung im Basisband erscheint; stimmt sie mit der Signalfrequenz überein, liegt kein Aliasing der Grundwelle vor. Die Samples im Fenster ergeben sich aus Sample Rate und Zeitfenster.
Die Statuszeile darunter benennt den Betriebsfall und wechselt die Farbe: grün, wenn auch die höchste Teilschwingung unterhalb der Nyquistfrequenz liegt, sonst orange. Sie unterscheidet drei Fehlerfälle — Aliasing der Grundwelle, Aliasing nur der Oberwellen, und den Grenzfall dicht an der Nyquistfrequenz.
Nachgebildet werden das Sampling mit idealen, unendlich kurzen Sampling-Impulsen, die Rückfaltung der Spektren und zwei Rekonstruktionsverfahren. Die Samples werden in voller Rechengenauigkeit gebildet.
Nicht nachgebildet werden die Auflösung und Kennlinie des Wandlers, das Rauschen, die endliche Bandbreite des Eingangsverstärkers, der Öffnungsjitter des Samplers und jede Form von Vorfilterung. Ein reales Gerät zeigt deshalb bei gleicher Einstellung stets etwas weniger, nie mehr.
Rechenbedingte Grenzen: Das Sample-Raster wird bis zweihundert, die Einzelpunkte werden bis dreitausend Werte im Fenster dargestellt; die sin(x)/x-Rekonstruktion wird bis viertausend Werte berechnet. Bei sehr langen Zeitfenstern werden höchstens zwanzigtausend Samples im Speicher gehalten — die angezeigte Anzahl bleibt davon unberührt und nennt weiterhin den wahren Wert.
Der Sampling-Simulator behandelt die Frage, was beim Abtasten mit dem Signal geschieht. Der Acquisition Simulator behandelt die andere Hälfte: welchen Weg die Abtastwerte im Gerät nehmen, bis sie im Speicher stehen und anschließend als Kurve auf dem Schirm zu sehen sind.
Er beantwortet drei Fragen, die sich beim Messen aufdrängen. Woher kennt das Oszilloskop den Signalverlauf vor dem Triggerereignis? Warum hängt die Sample Rate an der Speichertiefe und an der Zeitbasis? Und warum ist das Gerät zwischen zwei Erfassungen blind?
Nachgebildet ist die Kette vom Wandler bis zum Arbeitsspeicher, also Dezimierung, Ringpuffer, Triggerprüfung, Post-Trigger-Zähler und das Auslesen. Nicht nachgebildet sind Segmentspeicher, Holdoff und das Wiederscharfschalten.
Links liegen drei Bilder übereinander. Oben das Signal am Eingang mit dem Triggerpegel, in der Mitte das Acquisition Memory als Ringpuffer, unten der Datensatz im Arbeitsspeicher. Zwischen dem ersten und dem zweiten Bild steht die Blockkette; das jeweils tätige Glied ist grün hervorgehoben.
Rechts steht die Steuerung, darunter der Ablauf in sechs Abschnitten. Der gerade erreichte Abschnitt ist hervorgehoben, die erledigten tragen einen Haken. Unter der Statuszeile steht eine Zustandszeile mit Betriebszustand, Abschnitt, Zahl der bisher gewandelten Werte und der Fassung des Simulators.
Ablauf steuern
Die drei Knöpfe haben je eine feste Bedeutung, damit ein Klick nie das Gegenteil bewirkt. Anhalten hält an, Weiter setzt fort, Einzelschritt rückt im angehaltenen Zustand einen einzigen Wert des Wandlers weiter. Der jeweils sinnlose Knopf ist ausgegraut. Von vorn beginnen steht abgesetzt darunter und leert den Ringpuffer.
Ist an jedem Abschnitt anhalten eingeschaltet, hält der Ablauf an jedem Übergang von selbst an und wartet auf „Weiter". Das ist die empfohlene Einstellung zum Erklären; ausgeschaltet läuft die Kette in einem Zug durch.
Trigger
Trigger löst selbst aus lässt den Trigger bei jeder steigenden Flanke durch den Pegel ansprechen. Ausgeschaltet wartet er auf den Knopf Trigger von Hand auslösen, der aktiv wird, sobald der Trigger scharf ist.
Der Trigger-Pegel ist die Schwelle im Signalbild. Die Trigger-Position teilt den Datensatz: Bei 40 % bestehen 40 % aus Pre-Trigger-Werten und 60 % aus Post-Trigger-Werten. Bei 100 % steht das Ereignis am rechten Rand, bei 0 % am linken.
Erfassungspfad
Die Dezimierung legt fest, wie viele Werte des Wandlers zu einem gespeicherten Wert zusammengefasst werden, von 1:1 bis 1:10. Die Erfassungsart bestimmt, wie das geschieht: „Sample" behält den letzten Wert des Intervalls, „Peak Detect" Minimum und Maximum, „Average" den Mittelwert. Bei Average zeigt ein dünner grauer Strich zusätzlich die Spanne des Intervalls, also das, was im einen Mittelwert aufgegangen ist.
Ein Wort zur Benennung, weil sie bei den Herstellern wechselt: Gemeint ist hier die Mittelung innerhalb einer Erfassung, über die Werte eines Dezimierungsintervalls. Sie wirkt wie ein Tiefpass vor dem Speicher und hilft auch bei einmaligen Vorgängen. Manche Geräte nennen das „High Resolution" und verstehen unter „Average" die Mittelung über mehrere Erfassungen hinweg; die setzt ein wiederholbares, sauber getriggertes Signal voraus und lässt einmalige Ereignisse verschwinden. Nachgebildet ist der erste Fall.
Kurzer Störimpuls im Signal fügt alle 137 Abtastungen einen einzelnen herausragenden Wert ein. Damit lässt sich zeigen, was die Dezimierung verwirft und was der Trigger trotzdem sieht.
Bauweise des Triggers
Der Wahlschalter stellt zwischen digitalem Trigger und getrenntem Trigger-Weg um. Beim digitalen Trigger entscheidet die Kette anhand derselben Abtastwerte, die gespeichert werden; der Triggerpunkt liegt deshalb genau auf einem gespeicherten Wert. Beim getrennten Weg liegt ein analoger Komparator vor dem Wandler, und der Triggerpunkt fällt zwischen zwei Abtastungen. Der Datensatz zeigt dann den Versatz, und er fällt bei jeder Erfassung anders aus — das ist Trigger-Jitter.
Tempo
Der Regler steuert, wie viele Werte je Sekunde durchlaufen. Für das Verfolgen der Dezimierung empfiehlt sich der linke Anschlag oder der Einzelschritt.
Zustandszeile
Unter der Statusmeldung steht eine Zeile mit Betriebszustand, Abschnitt, Zahl der bisher gewandelten Werte und der Version des Simulators. Sie hilft bei der Verständigung: Weicht ein Verhalten von dieser Beschreibung ab, lohnt zuerst der Blick auf die dort genannte Version.
Nachgebildet sind das ständige Schreiben in den Ringpuffer, die Dezimierung mit drei Erfassungsarten, die Triggerprüfung auf der vollen Rate des Wandlers, der Post-Trigger-Zähler und das Auslesen.
Nicht nachgebildet sind Segmentspeicher und History, Holdoff und Wiederscharfschalten, die Auflösung des Wandlers, das Rauschen sowie alle Zeiten in Sekunden — der Ablauf zählt in Werten des Wandlers, nicht in Mikrosekunden.
Der Ringpuffer hat 96 Zellen, damit man die einzelne Zelle noch sieht. Sie stehen sinnbildlich für 100 % der eingestellten Speichertiefe; reale Geräte haben davon Millionen. Am Verhalten ändert das nichts, nur an der Zeitspanne, die der Speicher fasst.
Zu unterscheiden sind dabei zwei Dinge: die eingestellte Speichertiefe, also der dargestellte Ring, und der verbaute Speicherbaustein, der meist ein Vielfaches davon fasst. In diesem Rest liegen bei segmentiertem Speicher weitere Ringe, je einer pro Trigger — die Grundlage der History — oder er dient dem Wechselbetrieb, bei dem in einen Bereich geschrieben wird, während ein anderer ausgelesen wird. Genau das verkürzt die Totzeit und ist hier nicht nachgebildet.
