Der Simulator erzeugt fünf unabhängige Signale, verknüpft sie auf eine wählbare Art und stellt das Ergebnis gleichzeitig im Zeitbereich und im Frequenzbereich dar. Alle Werte werden bei jeder Änderung neu gerechnet; es sind keine Kurven oder Spektren vorberechnet.
Deshalb ist es auch wichtig, die Frequenzen bei Änderung der Verknüpfung entsprechend anzupassen, da ansonsten ggf. nicht identifizierbare Konstruktionen entstehen.
Typische Einsatzzwecke:
Die Simulation besteht aus zwei Bedienfeldern. Auf breiten Bildschirmen liegen sie nebeneinander, auf schmalen untereinander; dort bleibt die Anzeige beim Scrollen am oberen Rand stehen, sodass die Wirkung einer Einstellung immer sichtbar ist.
Die Bedienelemente stehen an der Anzeige, zu der sie gehören. Unter dem Schirm folgen zuerst die Messwertzeile, dann die Achsenzeile mit Zeitbasis und V/Div, dann die beiden Schalter für die Sichtbarkeit: Einzelsignale im Zeitverlauf noch über dem Schirm wirkend, Spektrum anzeigen unmittelbar über der Spektrumanzeige. Erst darunter kommen die Verknüpfungsart und die Beispiele, die das ganze Ergebnis betreffen.
Linkes Feld — Ergebnis und Grundeinstellungen
Rechtes Feld — Signalquellen
Fünf gleich aufgebaute Kanalzüge, jeweils mit Ein-/Ausschalter, Signalform und den vier Parametern Frequenz, Amplitude, Phase und Gleichanteil. Jeder Kanal hat eine feste Farbe, die auch für seine Kurve auf dem Schirm gilt.
3.1 Signalformen
Alle periodischen Formen sind ideal definiert, also mit unendlich steilen Flanken beim Rechteck und exakten Knicken beim Dreieck. Mit der auf eine Periode normierten Phase
gilt
Der Kanalwert ist damit
3.2 Rauschen
Das Rauschen ist gaußverteilt und wird aus einem festen Musterpuffer von 262144 Werten gelesen. Der Puffer ist auf Mittelwert null und Effektivwert eins normiert. Dadurch sehen Zeitverlauf, Messwerte, Spektrum und CSV-Export dieselben Zufallszahlen — ohne das würde jede Anzeige ein anderes Rauschen zeigen.
Bei Rauschen ändern zwei Bedienelemente ihre Bedeutung:
Die Bandbegrenzung entsteht dadurch, dass der Puffer mit der Rate fa = 2B gelesen und linear interpoliert wird. Die lineare Interpolation senkt den Effektivwert im Mittel auf
Deshalb wird intern mit dem Faktor √(3/2) ≈ 1,2247 korrigiert; der eingestellte Wert ist also tatsächlich der Effektivwert.
Die Schaltfläche Rauschmuster neu würfelt ein neues Muster, ohne sonstige Einstellungen zu ändern. Mehrere Rauschkanäle lesen den Puffer versetzt und sind daher unkorreliert.
3.3 Parameter
Die Frequenz wird in kHz eingegeben und angezeigt, intern aber in Hz geführt. 100 Hz erscheinen also als 0.1, ein 10-kHz-Träger als 10.
Der Gleichanteil gehört zum jeweiligen Kanal, nicht zum Ergebnis. Das ist wichtig für die Multiplikation: nur so lässt sich echte Amplitudenmodulation mit Träger erzeugen (Abschnitt 4.2).
Bild 2 – Die vier Signalformen, jeweils über zwei Perioden.
4.1 Addition
A ist die Menge der eingeschalteten Kanäle. Das Summensignal wiederholt sich mit dem größten gemeinsamen Teiler der Einzelfrequenzen; dieser Wert steht im Hinweistext unter der Beispielzeile.
Klassische Anwendung ist die Fourierreihe. Ein Rechteck mit der Grundfrequenz f0 und dem Scheitelwert Û besteht aus den ungeradzahligen Harmonischen
Das Beispiel Rechteck aus Sinusanteilen setzt genau diese fünf ersten Glieder.
4.2 Multiplikation
Für zwei Sinussignale folgt aus dem Produktsatz
Im Produkt erscheinen also nur Differenz- und Summenfrequenz, die Eingangsfrequenzen selbst verschwinden. Das ist das Verhalten eines idealen Mischers.
Für Amplitudenmodulation braucht der Modulationskanal einen Gleichanteil. Mit dem Träger ÛT sin(2πfTt) und dem Modulationskanal UDC + ÛM sin(2πfMt) ergibt sich der Modulationsgrad
und die Seitenlinien liegen bei ÛTUDC· m/2. Das Beispiel AM aus Träger mal Gleichanteil verwendet
UDC = 1V und ÛM = 0,5V, also m = 0,5 und Seitenlinien 12 dB unter dem Träger.
Denselben Verlauf erzeugt die Verknüpfungsart AM (Abschnitt 4.4) unmittelbar. Der Weg über die Multiplikation bleibt trotzdem lehrreich, weil an ihm abzulesen ist, woher die Seitenlinien kommen: sie sind das Produkt aus Träger und Modulationssignal, der Träger selbst stammt aus dem Gleichanteil.
Bild 3 – Signalfluss von den fünf Quellen bis zu den beiden Anzeigen.
4.3 Zweiton
Summe der beiden ersten eingeschalteten Kanäle. Bei gleichen Amplituden gilt
Die Hüllkurvenspitzenleistung liegt damit 3 dB über der mittleren Leistung — der Standardfall bei der Linearitätsprüfung von Sendern.
4.4 Amplitudenmodulation
CH1 ist der Träger, die Summe der eingeschalteten Kanäle CH2 bis CH5 ist das Modulationssignal m(t). Mit dem Modulationsgrad ka in Prozent je Volt gilt
Die Angabe je Volt ist dieselbe Zählweise wie beim Frequenz- und beim Phasenhub: ein Modulationssignal mit dem Scheitelwert 1 V und ka = 50%/V ergibt den Modulationsgrad m = 0,5. Ein Gleichanteil des Trägers wird nicht mitmoduliert, sondern erst danach addiert.
Bei sinusförmiger Modulation stehen zwei Seitenlinien im Abstand fM neben dem Träger
Für m = 0,5 liegen sie also 12,0 dB unter dem Träger. Die belegte Bandbreite hängt nur von der Modulationsfrequenz ab, nicht vom Modulationsgrad — das ist der Gegensatz zur FM.
Oberhalb von m = 1 wird der Klammerausdruck zeitweise negativ. Die Hüllkurve klappt dann um, im Zeitverlauf entsteht an dieser Stelle ein Phasensprung, und im Spektrum treten Vielfache der Modulationsfrequenz als weitere Seitenlinien auf. Das Beispiel Übermodulation, m = 130 % zeigt diesen Fall.
4.5 Frequenzmodulation
CH1 ist der Träger, die Summe der eingeschalteten Kanäle CH2 bis CH5 ist das Modulationssignal m(t). Mit dem Hub kf in Hz/V gilt
Das Integral wird geschlossen berechnet, nicht numerisch aufsummiert. Der Modulationsindex und die Bandbreite nach Carson sind
Die Amplituden der Linien folgen den Besselfunktionen erster Art: der Träger J0(β), das n-te Seitenlinienpaar Jn(β) im Abstand nfM.
mit dem Phasenhub kφ in Grad pro Volt. Der Modulationsindex ist hier
Der wesentliche Unterschied zur FM: bei PM hängt β nicht von der Modulationsfrequenz ab. Senkt man fM, bleibt das Linienbild in seiner Struktur erhalten und rückt nur zusammen, während bei FM der Index und damit die Zahl der Seitenlinien wächst.
5.1 Raster und Ablenkkoeffizienten
Der Schirm hat 10 Divisionen waagerecht und 8 senkrecht, die Nulllinie liegt in der Mitte. Rechts unten stehen die beiden Ablenkkoeffizienten in der üblichen 1-2-5-Folge. Das dargestellte Zeitfenster ist
Automatische Zeitbasis wählt das Fenster so, dass zwei Wiederholungen des Gesamtsignals sichtbar sind — also zwei Hüllkurvenperioden bei Schwebung und Zweiton, nicht zwei Trägerperioden. Maßgeblich ist der größte gemeinsame Teiler der beteiligten Frequenzen, nach oben begrenzt auf 50 Perioden der höchsten Frequenz, damit die Kurve nicht zum ausgefüllten Balken wird.
Automatische Y-Achse skaliert so, dass die größte Auslenkung etwa 3,6 Divisionen erreicht.
Beide Automatiken lassen sich abschalten; die Auswahlfelder werden dann von Hand bedienbar.
5.2 Messwerte
Alle Messwerte beziehen sich auf das dargestellte Zeitfenster, ausgewertet an 4096 Stützstellen. Ein zu kurzes Fenster liefert deshalb dieselben falschen Werte wie an einem echten Gerät.
Leistung und Hüllkurvenspitze erscheinen nur, wenn als Pegelachse dBm gewählt ist.
Bild 4 – Raster des Schirms mit 10 mal 8 Divisionen.
Die FFT rechnet nicht auf den Bildpunkten des Schirms, sondern auf einer eigenen Zeitreihe. Die Kette im Einzelnen:
Der zweite Faktor macht die Dämpfung des Rechteckvorfilters wieder rückgängig.
6.2 Bedienelemente
Unter dem Diagramm steht eine Zeile mit der ausgewerteten Quelle, der Aufzeichnungsdauer T, dem Linienabstand Δf sowie Fenster und dessen Rauschbandbreite.
6.3 Auflösung und Ausschnitt
Der Linienabstand ist
In der freien Betriebsart leitet sich die Abtastrate aus dem gewünschten Ausschnitt ab. Δf wird dabei auf einen glatten Wert der 1-2-5-Folge aufgerundet, damit Linien bei runden Frequenzen genau auf Binmitten fallen und ohne Fenstereinbruch angezeigt werden. Die Aufzeichnungsdauer wird dafür krumm, was hier ohne Bedeutung ist.
In der gekoppelten Betriebsart rechnet die FFT über die dargestellte Aufzeichnung, wie an einem Oszilloskop. Damit gilt zwingend Δf = 1/T: eine schnellere Zeitbasis verschlechtert die Frequenzauflösung. Die FFT-Länge wirkt dort wie die Abtastrate und bestimmt nur noch die obere Grenze fa/2; das Feld Frequenzbereich wird zum reinen Zoom in die berechneten Linien.
Reicht die Aufzeichnung nicht für eine brauchbare Auflösung, steht die Zahl der Linien im Ausschnitt in der Anzeigezeile.
Das obere Achsenende folgt einer feineren Stufung als der 1-2-5-Folge, damit ein Rauschband bis 20 kHz nicht auf einer Achse bis 100 kHz landet. Für die Rasterung von Δf bleibt die 1-2-5-Folge dagegen maßgeblich, weil nur so Linien bei runden Frequenzen auf Binmitten fallen.
Automatischer Ausschnitt. Liegt der Signalinhalt in einem schmalen Band oberhalb von null — Zweiton, Schwebung, modulierter Träger — legt sich der Ausschnitt um dieses Band, statt bei 0 Hz zu beginnen. Zwei Töne bei 1,0 und 1,1 kHz erscheinen so über die halbe Bildbreite verteilt und nicht als eine Linie am linken Rand. Bei breitbandigem Inhalt, also Rechteck, Dreieck oder Rauschen, beginnt die Achse weiterhin bei 0 Hz, weil dort die Oberwellen interessieren
An 50 Ω entspricht ein Scheitelwert von 1 V also +10,0 dBm. Die logarithmischen Achsen umfassen 80 dB.
Die vier stärksten Linien werden mit Frequenz und Pegel beschriftet; über den Schalter Linien beschriften lässt sich das abstellen. Die Beschriftungen bleiben stets innerhalb der Zeichenfläche und werden mit einem deckenden Feld hinterlegt, damit sie über der Kurve lesbar bleiben.
Ein Gleichanteil bleibt bei der Skalierung außen vor, weil die Hauptkeule des Fensters um 0 Hz sonst alles andere erschlagen würde; sein Wert steht stattdessen links oben im Diagramm.
Frequenzachse (X-Achse). Für die gesamte Achse wird eine einheitliche Einheit gewählt und nur am rechten Ende benannt, damit nicht Werte wie „800 Hz” und „1,2 kHz” nebeneinander stehen. Die Achsenlinie wird nach der Kurve gezeichnet und trägt Teilstriche an allen zehn Divisionen.
Bild 5 – Rechenkette der Spektrumanzeige.
7 Fensterfunktionen
Jeder Bin der FFT ist ein Filter mit dem Betragsgang der Fensterfunktion. Der Bin entspricht damit funktional der Auflösebandbreite eines Wobbelanalysators — mit dem Unterschied, dass die FFT alle Filter gleichzeitig auswertet, während der Analysator ein einziges über die Spanne schiebt.
Wichtig ist die Unterscheidung zwischen dem Linienabstand Δf und der Filterbandbreite. Letztere ist stets größer:
Daraus die Auswahlregel:
Für Rauschmessungen ist die Rauschbandbreite die maßgebliche Größe, für das Trennen zweier Linien eher die −3-dB-Breite.
Das Beispiel Linie zwischen zwei Bins legt eine 1-V-Linie absichtlich genau zwischen zwei Bins und stellt das Rechteckfenster ein. Beim Durchschalten der Fenster wandert die Anzeige von 0,637 V auf 0,999 V.
Bild 6 – Betragsgang der Bin-Filter. Bei einer Linie auf halber Binbreite fehlen dem Rechteckfenster 3,92 dB, dem Hann-Fenster 1,42 dB.
Die Beispielzeile zeigt nur die Beispiele der gerade gewählten Verknüpfungsart. Jedes Beispiel setzt die fünf Kanäle vollständig neu; Spektrumeinstellungen ändert es nur dort, wo sie zur Sache gehören.
Addition
Daneben steht die Werkzeugzeile mit zwei Schaltflächen, die für jede Verknüpfungsart gelten: Rauschmuster neu würfelt nur den Zufallsgenerator neu, Zurücksetzen stellt den Grundzustand her.
Eine lohnende Übung mit Sinus im Rauschteppich: die FFT-Länge von 4096 auf 32768 stellen. Der Träger bleibt bei 0,1 V stehen, der Rauschteppich fällt um 9 dB, weil sich die Rauschbandbreite je Bin auf ein Achtel verringert.
Eine zweite mit Träger 1 kHz, m = 50 %: den Modulationsgrad schrittweise über 100 % hinaus erhöhen und dabei den Zeitverlauf beobachten. Der Scheitelwert wächst weiter linear, aber die Hüllkurve berührt bei 100 % erstmals die Nulllinie und klappt darüber um.
Bild speichern legt eine PNG-Datei mit Schirm und Spektrum untereinander ab, in der Auflösung der aktuellen Darstellung einschließlich Bildschirmskalierung.
Daten als CSV schreibt 2000 Stützstellen über das dargestellte Zeitfenster. Spalten sind Zeit, die fünf Einzelkanäle und das Ergebnis; abgeschaltete Kanäle bleiben leer. Die letzte Spalte trägt den Namen der Verknüpfungsart — Summe, Produkt, Zweiton, AM-Signal, FM-Signal oder PM-Signal. Trennzeichen ist das Semikolon, Dezimaltrennzeichen das Komma, sodass die Datei ohne Umweg in einer deutschsprachigen Tabellenkalkulation geöffnet werden kann.
10.1 Zeitbereich
Die Kurven werden mit sechsfacher Überabtastung je Bildpunkt gezeichnet, damit bei hohen Frequenzen kein Scheinbild durch Unterabtastung entsteht.
10.2 Nachgemessene Werte
10.3 Bekannte Grenzen
